Variaciones alrededor de infinitudes

Ver el mundo en un grano de arena

y el paraíso en una flor silvestre,

agarrar el Infinito en la palma de la mano,

y la Eternidad en una hora.

(William Blake)

El todo siempre presente en las partes y la partes abarcando el todo. La frase anterior resulta bastante interesante, y parece dar la impresión de transmitir un mensaje acogedor y simple; en donde hacemos referencia a algo sin algún atributo especial, sin apuntar el dedo para nada, ni para alguien específico, insinuando un espacio en donde no existen diferencias substanciales en los elementos que constituyen alguna posible unidad, a la que denominaremos aquí, sin muchas pretensiones, de “todo” o “totalidad”.

Para ir en el sentido de discernir sobre esta tácita infinitud hagamos el ejercicio de describir los números naturales, aquellos que aprendimos a manipular desde niños: 1, 2, 3, 4, …n, n+1. Podemos pensar que esta lista tendría un tamaño infinito y que por lo tanto nunca acabaría. Llamaremos a esta lista, sin preocuparnos por formalismos matemáticos, de conjunto. El tamaño de este objeto que acabamos de crear es denominado por los matemáticos como cardinalidad del conjunto.

Si seguimos por este procedimiento, podríamos ahora describir otro conjunto, por ejemplo el de los números pares: 2, 4, 6, 8, 2×n, 2× (n+1). Esta última lista fue fácilmente obtenida multiplicando cada elemento de la primera lista por 2. Podemos pensar, haciendo un poco de esfuerzo mental, que la cardinalidad del primer conjunto (los números enteros) es K y que la cardinalidad del segundo conjunto (de los números pares) es J.

Es intuitivo pensar que la lista de los números pares debe ser menor que la lista de los números enteros (o sea K > J), y hasta pensaríamos que su cardinalidad tendería a ser la mitad de esta última. Sin embargo podemos observar la tabla abajo para hacer algunas observaciones sorprendentes.

Como podemos observar, es perfectamente posible hacer una relación de cada elemento de un conjunto con el otro (existe una relación biunívoca entre sus elementos, mostrada por cada flecha), y por este motivo nos vemos obligados a aceptar que la cardinalidad de los dos conjuntos es la misma (pues las dos listas tienen el mismo tamaño). A pesar de que intuitivamente aceptamos que los números pares son un subconjunto de los números enteros, y que por lo tanto deberían estar contenidos en ellos, sus cardinalidades, de manera sorprendente, son iguales.

De la misma manera podríamos imaginar más conjuntos tales como los cuadrados de los números enteros, sus triplos, sus cubos, y todos tendrían la misma cardinalidad, pues podríamos establecer relaciones biunívocas entre pares de elementos. De esta manera podremos afirmar, en este caso, que las partes son iguales al todo, por lo menos en tamaño o cardinalidad. Y que el todo humildemente deberá aceptar que su tamaño es igual al de sus partes. Estos desconcertantes descubrimientos fueron realizados por el matemático ruso-alemán Georg Cantor (1845-1918). La cardinalidad de todos estos conjuntos fue denominada por Cantor como Aleph zero (denotada como À₀, siendo Aleph la primera letra del alfabeto hebreo).

Los trabajos de Cantor fueron sistemáticamente rechazados por un influyente matemático alemán llamado Kronecker, que era además editor de una importante revista científica de su época. Este obscuro personaje le hizo la vida imposible a Cantor, haciéndonos recordar la bien conocida historia de los compositores Mozart y Salieri, descrita en la película de Milos Forman. No le permitía que sus trabajos fueran publicados, hablaba mal sobre sus ideas en público y no le ayudó a vincularlo a las universidades más prestigiosas de su época. En el caso de Cantor los resultados fueron dramáticos, pues su autoestima fue atingida de una manera directa y contundente, lo que lo llevó a ser conducido a una solitaria y dolorosa muerte en un hospital psiquiátrico.

En el contexto matemático de la teoría de los conjuntos de Cantor, las cardinalidad de los conjuntos – que citamos anteriormente como À₀ – fue colocada como una categoría numérica especial, a la cual se denominó de números transfinitos. De esta manera, el conocido matemático llevó las discusiones antiguas sobre el tema de infinitud a niveles mucho más matemáticos y concisos. Un punto crucial en los trabajos de Cantor fue la descubierta de más números transfinitos, por ejemplo la cardinalidad de los números reales [1] a la cual denominó de C. En este contexto uno de los resultados más importantes de Cantor fue posibilitar demostrar matemáticamente que C es mayor que À₀, siendo también posible encontrar más números transfinitos por el camino.

Teniendo en cuenta las ideas de Cantor, el concepto de infinito pasa a poseer dos visiones aparentemente diferentes. En la primera podemos pensar el concepto como un límite que nunca es alcanzado. Por ejemplo nuestro conjunto de número naturales (1, 2, 3, 4, 5,…) puede continuar a ser descrito indefinidamente. Este proceso nunca terminará, sin llevar a tocar un posible último valor, en el infinito. Visto de cierta manera, cada número sería apenas parte de un proceso de generación numérica infinita. En la segunda visión podemos pensar que el límite nunca atingido es un número transfinito (bien específico y sin diferencias con cualquier otro número que podamos imaginar), el cual es infinitamente actualizado, siendo en sí el límite al cual se tiende, pero al cual nunca se llega…Sería para Cantor una cantidad fija constante, más allá de todas las cantidades finitas que podamos concebir o soñar [2].

Si en este escenario existiera una cantidad infinita de números transfinitos tendríamos por lo menos un serio problema para resolver, pues no existiría un número transfinito mayor que todos, o por lo menos nunca podríamos encontrarlo… Sin embargo tendríamos el pleno derecho de crear el conjunto de todos los números transfinitos posibles, al que llamaríamos aquí de Conjunto Inmortal – el cual sería también un conjunto infinito. Este conjunto contendría las cardinalidades de todos los conjuntos infinitos que pudiéramos imaginarnos. Y su cardinalidad tal vez sería el último número transfinito posible de ser pensado, atingido, de ser soñado. Parece que Cantor nos negó esta posibilidad y nos dio a entender que esta transfinita inconmensurabilidad numérica no existiría.

Por otro lado, podríamos hacer una intrigante pregunta, ¿será que nuestro conjunto inmortal tendría el privilegio de contener su propia cardinalidad? Obviamente podremos responder sí o no. Si nuestra respuesta es negativa, nuestro conjunto inmortal carecería de alguna cosa, tal vez importante, ya que él debería contener la cardinalidad de todos los conjuntos infinitos (y al fin y al cabo él mismo es un conjunto infinito). Si nuestra respuesta fuera afirmativa, tendríamos una especie de monstruo, una serpiente mordiéndose el rabo, pues tendría su propia fundamental característica dentro de sí. Este tipo de paradojas han sido estudiadas por varios matemáticos en la historia, y algunas de las más famosas fueron propuestas por el matemático y humanista Bertrand Russell en el siglo XX.

En el tema de las imágenes que podemos hacernos sobre el tema de la infinitud podemos encontrar varios ejemplos en la literatura. Jorge Luis Borges se adentró en este tópico de manera sensible e inteligente en variados y maravillosos escritos. La infinitud como proceso, de la primera visión que comentamos anteriormente, la podemos percibir en la narrativa de Las Ruinas Circulares, en donde el mago soñador que intenta crear una criatura en el proceso de soñar, finalmente percibe que él mismo es el sueño que otro mago que sueña. Y esto nos invita a percibir que esta cadena de soñadores puede ser recriada ad infinitum. Por otro lado, la infinitud contenida en un punto del espacio es tema de la narrativa de El Aleph, en donde encontramos todas las cosas posibles, los acontecimientos y los tiempos inseridos en una única, asustadora y vislumbrante singularidad espacial. Aquí se nos asemeja a la segunda visión sobre el infinito, el número aleph como símbolo, con sus características de inconmensurabilidad y mutabilidad, pero al mismo tiempo bien definido y concreto.

Estas potentes características numéricas, espaciales y con atisbos de atemporalidad de los Alephs Cantorianos y Borgianos [3] se nos insinúan también en el conocido poema de William Blake, con el cual dimos inicio a estas divagaciones alrededor de los temas de conjuntos, totalidad e infinitudes.

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[1] Los números reales incluyen los números naturales, los enteros positivos y negativos, así como los números racionales e irracionales.

[2] Una descripción simple sobre la teoría de Cantor y en donde aparece también el poema de William Blake como referencia puede ser leída en: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/conteudos.htm

[3] El tema del Big Bang como acontecimiento singular, el cual nos relata un universo en sus primordios, con la ausencia revelada de la idea de espacio-tiempo, puede ser un insinuante ejemplo de aleph Borgiano (como singularidad espacial y también temporal).